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Lesson  20
微分方程(Differential Equations)入门

欢迎

在本课中,我们将会探索1阶,2阶和n阶微分方程的图象.微分方程的图象在工程和物理领域扮演了很重要的角色.图形能帮助我们直观的找到别的方法无法解出的微分方程的解.

课程目标

    • 能画出1阶微分方程
    • 能画出2阶微分方程
    • 能画出n阶微分方程
    • 理解斜率场是什么

在第20,你将学习:

    • 画出1阶,2阶和n阶微分方程的图象
    • 提供一个初始值,画出一个积分曲线
    • 通过绘点来画一个积分曲线
    • 使用dsolve 命令来解一个微分方程
    • 使用Laplace命令来解一个微分方程

课程结束后,你将能回答以下问题:

  • 你怎样把DiffEq编辑器变到1阶微分方程?
  • 的作用是什么?
  • 你打开什么对话框来改变步长?
  • IC页是用来干什么的?

时间要求
大约60分钟.

开始
我们从微分方程是什么以及斜率场表示什么来开始本课程.

微分方程最简单的定义就是包含导数的方程.在微积分中,你将学习怎样对一个函数求导以及意义是什么.”导数”用形如dy/dx或y’的符号来表示.

导数的最简单的定义就是函数在某个x值时的变化率(斜率).例如,如果函数是线性的,这个斜率是一个不变的变化率,这样导数就是一个常数.给出y=3x+1,我们知道斜率是3,因此y’=3.

如果函数不是线性的,这个导数是非常有用的!它帮助我们找到这个函数在任何点上的变化率.

为了画出斜率场,我们可以使用dy/dx或者y’去求原始曲线在某个x值时的斜率.于是我们可以画一条具有该斜率(dy/dx)短线段.如果我们像这样画的足够多,我们将会看到原曲线.

 
 

你能在斜率场中看见原始图形吗?我们可以把斜率场看作是原始图形去掉一部分后剩余的图形!

给出一个斜率场(ClassPad能做到);我们能估计出一个积分曲线或原始曲线的曲线族.我们需要作的就是把每一个斜率联起来形成一个光滑的形状.

Part I开始前
1.下载 Virtual ClassPad 文件 (vcp file)

  • 单击Lesson_20.vcp
  • 选择SaveSave As…选项
  • 打开下拉工具筐的” Save in”(靠近顶部)
  • 展开My Documents文件夹,并选中它
  • 选择CASIO文件夹下的ClassPad Manager的文件夹
  • 点击Save
  • 点击Open文件夹
  • 双击Lesson_20.vcp打开文件

2.打开Virtual ClassPad filevcp文件)的另一种方法

  • 打开“ClassPad Manager
  • 在ClassPad上右击(出现一个“context”菜单)
  • 选择File再选Open…
  • 通过浏览找到文件Lesson_20.vcp(它应该在 My Documents/CASIO/ClassPad Manager folder中)
  • 选择Lesson_20.vcp
  • 点击Open(Lesson_20.vcp现在是一个活动文件)  

PART I
在这一部分,你将学习怎样画一个1阶微分方程,然后试着理解图形表示什么.

 

  • 打开
  • Type/ 1st (Slope Field)
  • y’后面, 输入 2
  • EXE
  • 点击 作图
 1阶微分方程画一个斜率场
    
  • 使用IC 页输入一个初始条件点
  • 点击进入DiffEq editor 窗口
  • 点击IC 选项卡
  • xi, 输入 2
  • yi, 输入 -3
  • EXE
  • xi, 输入 1
  • yi,输入 3
  • EXE
  • 点击 作图
 
注意我们画的积分曲线是线性的!这个是有道理的吗?恩…
                    
y’=2(一个常数)是指原函数是一个斜率为2的线性函数.原函数一定是y=2x+b这种形式.但是,我们还需要另外的信息才能求出b的准确值.

 

我们需要求当满足(2,-3) 和 (1, 3)时的b值.
当(2,-3)时, y=2x+b 变成-3=2*2+b  ->  b=-3-4=-7
当(1, 3)时,b等于多少?观察上面的图形,猜猜看!

  • 通过推测方程来画一个积分曲线
  • 点击 graph 窗口
  • Edit/Clear All 来清空 积分曲线
  • 点击图形编辑器中的 Graphs 选项卡
  • y后面,输入 2x+1
  • EXE
  • 点击 作图
  • y后面, 输入 2x-3
  • EXE
  • 在Graphs 页中点击包含 2x-3的直线
  • 点击 n,然后选
  • 点击 再次作图


2. Drag and drop [0,2]

  

PART I的实践练习
在开始实践练习前,打开一个文档,输入以下信息并以文件名Lesson20保存在My Documents/ CASIO文件夹下面:

  • Date: (输入今天的日期)
  • To: (写下你老师的名字)
  • From:(写下你的名字)
  • Re: Lesson 20
  • 请打开DiffEqGraph应用程序.

2.点击Graph选项卡,然后选Edit/Clear All.
3.点击IC选项卡,然后选Edit/Clear All.
4.点击DiffEq选项卡,选Edit/Clear All.
5.在y’后面,输入1/y然后选EXE.
6.显示图形.
7.  在方程和图形显示的情况下,做1个抓屏,粘贴到你的Lesson20文档(在PART I的一个标题下)
8.点击IC选项卡,然后输入x=1, y=2以及x=1, y=-2作为初始条件.
9.显示积分曲线的图形.
10.在方程和图形都显示的情况下, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏。
11.点击Graphs选项卡.y后面,输入(2x)^(1/2),然后按EXE.
12.选中(2x)^(1/2)曲线,把线型改为粗线.
13.显示图形.
14.在方程和图形都显示的情况下,做1个抓屏。请在前1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏
15.请清空DiffEq 页, IC 页和Graphs 页.每一个都需要单独来做.  

PART II
在这一部分,你将会学习怎样画出一个二阶微分方程的图象,以及怎样改变视图窗口的设置.

  • 打开 然后在 DiffEq editor 窗口中单击一下.
  • Type/2nd (Phase Plane)
  • x’后面, 输入 x
  • y’后面, 输入 y
  • EXE
  • 点击 作图
  • 点击 DiffEq 编辑器
  • Type 改成   1st (Slope Field)
  • y’后面, 输入 y/x
  • EXE再次作图

 2阶微分方程的相场
  

 

  • 通过点来画积分曲线

 

  • 点击 DiffEq 编辑器窗口
  • 单击工具栏上的n并选
  • 很好,我们输入的内容已经保存了!
  • 点击graph窗口来获得焦点
  • 点击 (画积分曲线的按钮)
  • 点击 graph窗口 – 一个积分曲线就作出来了
  • 按住并拖动这个点向积分曲线移动

拖放这个point

 

 

  • 探索视图窗口
点击 DiffEq 编辑器窗口
  • 点击 6 来打开 View 窗口
  • 按右图来修改你的设置
  • 使用 + 和 –来放大和缩小

你能猜出一个积分曲线吗?

  • 单击Graphs 选项卡
  • 输入y=abs(x) ,然后按 EXE
  • 输入 y=-abs(x) 然后 EXE
  • 显示图形
     
    

PART II的实践练习

1.请打开DiffEqGraph应用程序.
2.点击Graph选卡,并选Edit/Clear All.
3.点击 IC 选卡并选Edit/Clear All.
4. 点击DiffEq 选卡,并选Edit/Clear All.
5.改成2阶(相平面)的类型
6.在x’后面, 输入 y-x ,然后按 EXE.
7.在 y’后面, 输入 -2x,然后按 EXE.
8.显示图形. 把窗口调整到满意的大小.
9.在方程和图象都显示时,做1个抓屏并粘贴到你的Lesson20文档(在PART II的标题下).
10.选Analysis/Modify来激活画积分曲线按钮.
11.点击graph窗口,画一个积分曲线
12. 在方程和图象都显示时, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏。
13.点击画积分曲线的按钮().
14.点击graph窗口,再次画一个积分曲线.
15.调整graph窗口的大小
16. 在方程和图象都显示时, 做1个抓屏。请在前1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏
17.请清空DiffEq和IC页.每一个都需要单独操作.

 PART III
ClassPad中还有一种微分方程需要尝试.对于这种类型,n阶微分方程,我们在初始条件的基础上展示积分曲线.

  • 打开 然后点击 DiffEq 编辑器窗口
  • Type/nth (No Field)
  • y1’后面, 输入 y3
  • EXE
  • y2’后面, 输入 cos(x)-y1
  • EXE
  • y3’后面, 输入 sin(x)-y2
  • EXE
  • 点击 作图

我们需要初始条件!

  • Type 改为 1st (Slope Field)
  • y’后面, 输入 y/x
  • EXE并再次作图
输入一个 n阶微分方程

DiffEq 需要更多的信息!

    
  • 点击 DiffEq editor 窗口
  • 点击 IC 选卡
  • 输入 Initial Condition 1的值
  • EXE
  • 点击 作图
  • 输入 Initial Condition 2的值
  • EXE
  • 输入 Initial Condition 3的值
  • EXE
  • 点击 作图,调整窗口的大小
输入初始条件
    

PART III的实践练习
1.打开Lesson 20文件夹中的名为L20_PartIII_a的电子备课.
2.沿着电子备课中的方向!
3.当你拖放所有要求的项之后,重新调整graph窗口的大小.
4. 在图形窗口显示的情况下,做1个抓屏并粘贴到Lesson 20文档(在标题PART III下)
5.注意:你不需要保存你的电子备课到20课.
6. 打开Lesson 20文件夹中的名为L20_PartIII_b的电子备课.
7. 沿着电子备课中的方向!
8. 当你拖放所有要求的项之后,重新调整graph窗口的大小.
9.在图象显示时, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏。
10. 打开Lesson 20文件夹中的名为L20_PartIII_c的电子备课.
11. 沿着电子备课中的方向!
12. 当你拖放所有要求的项之后,重新调整graph窗口的大小.
13.在图象显示时, 做1个抓屏。在上次抓屏后加2个空格,并将此新的抓屏粘贴在后面. 

PART IV
书面练习
请将下面的问题拷贝粘贴到Lesson20文档(在标题“Part IV”下)并回答
1.你怎样把DiffEq编辑器变到1阶微分方程?
2.的作用是什么?
3.你打开什么对话框来改变步长?
4.IC页是用来干什么的?
反思练习
你刚完成了ClassPad 101的第20课。又有一课结束了。请花几分钟将下面的3个问题拷贝粘帖到Lesson20文档的后面并回答
1.你大概花了多长时间来完成这一课的?
2.你最喜欢的操作是哪个?
3.这些操作有觉得困难的部分吗?如果有,是哪一部分?你是怎样克服的?

评估 20: 微分方程(Differential Equations)入门
检查点:  你的标题为Lesson20的文档,应该包含以下操作:
PART I中的3个抓屏
PART II中的3个抓屏
PART III中的3个抓屏
PART IV中的4个书面练习题和答案、3个反思练习题和答案
提交你的Lesson_20文件给老师打等级分。一旦你的文件被提交,你的ClassPad 101的“微分方程(Differential Equation)入门”课程就完成了

 
 
 
 
 
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