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Lesson  19
圆锥曲线(Conics)入门
欢迎
在这节课中,我们将考虑圆锥曲线的不同形式。自然界中的圆锥曲线是很有趣的图形。它在天文学和其他的科学和数学领域的研究中也扮演了十分重要的角色。

开始之前,请访问http://www.sparknotes.com/math/precalc/conicsections/section1.html,看一下怎样直观的用两个正圆锥体和一张纸去表示一个圆锥曲线。

课程目标

    • 能识别用标准方程给出的圆锥曲线
    • 能把一般形式的方程转化成标准形式
    • 理解抛物线焦点的意义

 

在第19课,你将学习:
插入二次曲线形式
把一般方程形式转化成标准方程形式
在Conics中使用G-Solve菜单
从Conics editor移动数据到其他的应用程序

课程结束后,你将能回答以下问题:

  • 你怎样转化一个方程为二次曲线形式?
  • 解释你怎样使用插入Conics Form对话框写一个圆心为(2,3),r=3的圆的方程。
  • 椭圆的长轴是什么?
  • 抛物线的焦点在哪里?
  • 解释怎样使用正圆锥体和一张纸来显示一个椭圆?

时间要求
大约60分钟

开始
我们从圆的探索来开始我们的课程!接着,我们还要学习椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线。

  PART I开始之前

  • 下载 Virtual ClassPad file (vcp file)
  • 单击Lesson_19.vcp
  • 选择Save或者Save As…按钮
  • 在下拉框(靠近上端)中打开“Save in”
  • 找到“My Documents”文件夹并选择它
  • 选择“CASIO”文件夹,然后“ClassPad Manager”文件夹
  • 点击Save
  • 单击Open文件夹
  • 双击Lesson_19.vcp打开

2.打开Virtual ClassPad filevcp文件)的另一种方法

打开“ClassPad Manager

  • 在ClassPad上右击(出现一个“context”菜单)
  • 选择File再选Open…
  • 通过浏览找到文件Lesson_19.vcp(它应该在 My Documents/CASIO/ClassPad Manager folder中)
  • 选择Lesson_19.vcp
  • 点击Open(Lesson_19.vcp现在是一个活动文件)

PART I
在这一部分,你将会学习怎样输入标准的二次曲线方程.就像你知道的那样,标准方程比一般方程包含有更多的信息.

  • 使用标准方程来画一个圆锥曲线
    • 打开C,如果需要,可以清屏
    • 打开Form菜单,然后选择Insert Conics Form
    • 选择圆的标准形式,然后按OK
    • 把其中的大写字母都改成数字

e.例如,我们要画的圆的圆心为(1,-2), 半径为2,那么H就为1,K为-2. r=2
f.单击^来画圆
g.选择Zoom/Quick Initialize,单击图形窗口中的$键.

 

  

 

 

  • 圆画好之后,选择 Analysis/G-Solve
  • 选择 Center (注意中心被显示出来)
  • 选择 Analysis/G-Solve/y-Intercept
  • 使用左右键在y轴上的两个交点间跳动
  • 试一试 Analysis/G-Solve/x-Cal
  • y-value输入-1
2.显示圆锥曲线的信息

G-Solve 菜单让我们发现更多的和当前圆锥曲线相关的信息

 

 

3.画多个圆
Conics 应用程序只能画出一个圆,但我们可以围绕它工作!

  • 选中圆的方程以及 Edit/Copy
  • 打开 eActivity
  • 插入一个 Conics 图形窗口 (^)
  • 粘贴圆
  • 选中圆并把它拖到Conics 图形窗口
  • 改变方程并再次拖放
  • 再修改方程,然后观察图形的改变

试一个有趣的例子!

  • 清除 Conics 图形窗口
  • 你能求出怎样对原始方程做一些小的改变来画出如图的四个圆吗?

提示: 不需要改变数字J

  

 
PART I的实践练习
在开始实践练习前,打开一个文档,输入以下信息并以文件名Lesson19保存在My Documents/ CASIO文件夹下面:

  • Date: (输入今天的日期)
  • To: (写下你老师的名字)
  • From:(写下你的名字)
  • Re: Lesson 3
        • 请打开 Conics 应用程序,如果需要,可以清屏.
        • 使用圆的标准形式画一个圆,圆心为 (-2,2) ,半径为1.5. 调整窗口 (zoom, pan,…) 使圆看上去大小位置合适.
        • 在图形窗口显示圆的圆心.提示: Analysis/G-Solve.

4.   在圆画好,圆心显示的情况下 做1个抓屏,粘贴到你的Lesson19文档(在PART I的一个标题下).
5.    复制圆的方程并打开 eActivity.
6.    清除eActivity窗口,然后插入一个 Conics 图形窗口.
7.    在 Conics图形条下粘贴圆.
8.拖放它到Conics图形窗口.
9.修改圆的方程,画出一个该圆关x轴的对称图形 提示:你也许需要清除图形窗口,再粘贴这个方程几次.
10.当圆和它的对称图形显示的情况下, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.
11.好的, 再多改变一些. 把两个平方项中的 + 号改成 [(x-H)^2+(y-K)^2 to (x-H)^2-(y-K)^2].
12.把你修改后的方程拖放到 Conics图形窗口中.
13.随着有趣图形的显示,做1个抓屏。请在前面1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏

PART II
在这个部分,我们来研究两种圆锥曲线:双曲线和椭圆. 它们的相似点是什么?它们的不同点是什么?

  • 探索椭圆的标准形式
  • 打开 C 并清屏(如果需要)
  • 选择 Form/Insert Conics Form
  • 选择 standard form的一种 ellipse形式, 然后按 OK
  • 把大写字母改为如图所示的数字
  • 通过选择 /Graph Format ,选Grid Points来显示整数格点
  • 用Pan命令来调整图形窗口
  • 定位椭圆中心: Analysis/G-Solve/Center
  • 改变方程,再次做图
  • 定位椭圆的中心
  • 改变的图形有何意义?
  • 再次改变方程,并画图
  • 定位椭圆中心
  • 一个圆是个特殊的椭圆!
 
 

 

2.把一个椭圆变成双曲线

  • 画出显示的椭圆
  • +号变成 ,再次画图
  • 选择 Analysis/G-Solve/Asymptotes
  • 欧! 这个框的尺寸是不是比较相似?
  • 注意经过和双曲线相切的这个方框的对角的两条直线


 

 

选择双曲线方程,然后 Edit/Copy

  • 打开 eActivity ,然后清屏
  • 插入一个 Conics 图形窗口 (^) 以及最小化
  • 把下一行改变成数学行,粘贴双曲线
  • 按EXE
  • 在下一行输入 expand( 并把双曲线方程拖放到后面
  • 按 EXE
  • 把结果拖到下一行并且把 –y^2/4改成 +y^2/4
  • 按 EXE
  • 打开 Conics 图形条
  • 拖放这个结果到图形窗口(通过zoom调整窗口)

注意: 如果 x^2 和 y^2 前都是+ 号,我们就会得到一个椭圆!

使用eActivity探索双曲线
  

  

4.把一般形式的方程改成标准方程

转换成椭圆的标准形式

  • 打开 eActivity 中的 L19_PartII_Step4
  • 打开名为 Exercise 1 第一个条形
  • 这是哪一种圆锥曲线?
  • x^2 y^2 两项都是正的,所以我们猜是椭圆
  • 选择 Fit/Fit into Conics FormDone!

转换成椭圆的标准形式

  • 打开名为Exercise 2的第2个条形
  • 选择 Fit/Fit into Conics Form
  • 你能猜到正确的形式吗? [提示: 考虑 x^2 y^2 前的符号]
  • 自己完成练习 Exercise 3 . 提示: 它是另一种双曲线形式]

神秘形式

  • 打开第4个名为Exercise 4的条形
  • 这是哪一种圆锥曲线?
  • x^2 和y^2项都是正的,所以猜是椭圆
  • Fit/Fit into Conics Form错误!
  • 注意 x^2 和 y^2 都被相同的数除,是一个圆吗?
  • 选择 Fit/Fit into Conics Form ,选一个圆方程成功!

   
 
 

   

PART II 的实践练习

  • 请打开eActivity 应用程序.
  • Lesson 19 文件夹中,打开名为L19_PartII_a 电子备课.
  • 打开名为Exercise 1 Conics编辑条.
  • 把Conics编辑条中的方程转换成圆锥曲线的标准形式.
  • 一旦你得到了标准形式,单击按钮画图.

6.在方程的标准形式和它的图形显示出来以后, 做1个抓屏并粘贴到你的Lesson19文档(在PART II的标题下)
7.单击右上方的,关闭Conics 图形窗口,回到 eActivity.
8.打开名为Exercise 2的 Conics编辑条.
9.把Conics编辑条中的方程转换成圆锥曲线的标准形式.
10.一旦你得到了标准形式,单击按钮画图.需要的话,可以用 Zoom调整窗口!
11. 在方程的标准形式和它的图形显示出来以后, 做抓屏。在上次的抓屏后加2个空格,并将这次的抓屏粘贴上去.
12.打开  菜单, 选择eActivity ,回到 eActivity.
13.把你的工作保存为eActivity,名为 L19_PartII_a_(后接你姓名的大写字母).
14. 在文件夹Lesson 19中打开 L19_PartII_b.
15.这是在www.canyonscorner.com上找到的一个eActivity.查看注释条,获得更多的信息..
16.用极坐标形式表示圆锥曲线是很有趣的, 但图形是一样的.
17.打开名为Ellipse 的条形,单击相关按钮作图.
18. 在方程和它的图形显示时, 做抓屏。在上次的抓屏后加2个空格,并将这次的抓屏粘贴上去.
19.打开其他的条形,改变系数.享受探索的乐趣吧!

PART III
我们现在还没有讨论到的圆锥曲线是抛物线. 当我们把一个抛物线用标准形式来表示的时候,它和前面两种圆锥曲线有一些不同.

  • 探索抛物线的标准形式

 

  • 打开 C 并且清屏 (如果需要的话)
  • 选择 Form/Insert Conics Form
  • 选择开口是垂直方向的抛物线标准形式, 并按 OK
  • 把大写字母改成如图所示的数字
  • 确定顶点: Analysis/G-Solve/Vertex
 

 

  • 清除 Conics 编辑窗口
  • 选择 Form/Insert Conics Form

c.选择开口是垂直方向的抛物线标准形式, 并按 OK

  • 把大写字母改成如图所示的数字
  • 画出 抛物线
  • 把首项系数改成0.5 并再次画图
  • 确定焦点 (Analysis/G-Solve/Focus)
  • 确定准线 (Analysis/G-Solve/ Directrix)
  • 一个有趣的事实:

抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离
(对任何p 点有d1=d2)

再次探索抛物线的标准形式
 

   

PART III 的实践练习

  • Lesson 19 文件夹中,打开名为L19_PartIII_a 电子备课.
  • 打开 标题为Exercise 1的Conics 编辑条.
  • 画出图形,修改方程使得它的开口方向相反.
  • 在新的方程及其图形显示出来以后, 做1个抓屏并粘贴到你的Lesson19文档(在PART III的标题下).
  • 使用右上方的  或者打开 菜单选择 eActivity,回到 eActivity应用程序.
  • 打开 标题为Exercise2的Conics 编辑条.
  • 画出图形,修改方程使得它的开口方向相反.
  • 在新的方程及其图形显示出来以后, 做1个抓屏,在上次的抓屏后加2个空格,并将这次的抓屏粘贴上去.
  • 返回 eActivity. 你有两个方法!
  • 把你的工作保存为eActivity,名为 L19_PartIII_a_(后接你姓名的大写字母)
  • Lesson 19 文件夹中,打开名为L19_PartIII_b 电子备课.
  • 这是我在www.canyonscorner.com上找到的另一个电子备课.
  • 读这个eActivity,打开每一个 Geometry 条,感受乐趣吧!
  • 当条形打开时, 做1个抓屏,在上次的抓屏后加2个空格,并将这次的抓屏粘贴上去.
  • 该你了! 如果你想, 就看你的了.

在继续 Part IV之前, 请备份你的Lesson 19 电子备课. 做以下这些,

  • 打开Exchange 窗口。通过打开这个窗口来开始. 提示: 右击 ClassPad 模拟器.]
  • 单击活动文件夹和ClassPad Manager前面的+号.
  • 单击Click Lesson_19以及 eActivities folder前面的 +号.
  • 接下来,单击 Lesson 19看看你刚才完成的 eActivities是否在哪儿?
  • 左击 Lesson 19 文件夹,把它拖到 CP101_Backup vcp file. 

PART IV
书面练习
将下列问题拷贝粘贴到你的Lesson19文档(在Part IV部分),并回答每一个问题。

1.解释你怎样使用Insert Conics Form对话框写一个圆心为(2,3),r=3的圆的方程。
2.一个椭圆的长轴是什么?

    • 抛物线的焦点在哪里?
    • 解释怎样使用正圆锥体和一张纸来显示一个椭圆?

反思练习
你已经完成了ClassPad 101的第19课!请花几分钟将下面的3个问题拷贝粘贴到你的Lesson19文档的最后,并回答.

  • 你大约花了多长时间完成这1课?
  • 哪一个操作你最喜欢?

3.这些操作有觉得困难的部分吗?如果有,是哪一部分?你是怎样克服的?

评估19a圆锥曲线(Conics)入门
检查点:你的标题为Lesson19的文档,应该包含以下操作:
PART I中的3个抓屏
PART II中的3个抓屏
PART III中的3个抓屏
PART IV中的4个书面练习题和答案、3个反思练习题和答案

  • 把你的Lesson 19文档提交给老师打等级分

 

评价 19b:   下载 Lesson_19.vcp file

  • 提交你的Lesson_19.vcp文件给老师打等级分。一旦你的文件被提交,你的ClassPad 101的“圆锥曲线(Conics)入门”就完成了
 
 
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