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Lesson  18
序列(Sequence)入门

欢迎
当你听到“序列”这个词,你会想到什么?你想到了一组排序的数吗?如果我们能为这样一组数或序列找到一个统一的模式的话,我们就能写出这个序列的称为通项的代数形式。如果我们有序列的通项,我们就可以使用序列应用程序来分析它。

课程目标

    • 理解序列的通项的含义
    • 能判断一个序列是等比序列或者是等差序列
    • 理解序列和级数间的关系
    • 理解求和符号

在第 18课,你将学习:

通过通项和递归的形式输入序列
查看序列的数据表
画出序列
判断一个序列是否是等比序列或等差序列
使用求和符号

课程结束后,你将能回答以下问题:

  • 如果前后两项之间的差是相同的,这是一种什么类型的序列?
  • 什么类型的序列要求我们要有一个初项?
  • 我们怎样链接一个数据表到图形窗口?
  • 如果开始的值是n=12,结束的值是n=21,这个序列里有多少项?

时间要求
大约60分钟 

开始
我们将对序列做一个的迅速的介绍。对序列中的术语的理解将会对你使用序列应用程序有帮助。当你在学校中学习了序列以后,你会发现序列应用程序特别有用。

序列被包含下标的有用的符号所定义。我们从集合{1, 2, 3 …}中输入一个数,然后在序列中得到一个项。

符号 (数学语言是很有趣的!)
an 读作 a ,n
ak 读作 a , k
一个 无穷序列可以表示成:
{ a1, a2, a3, a4, …, an, an+1, …}
序列的通项(如果我们能找到)是一个能表示序列每一项的一个等式.
例如,
如果给出如下的序列通项:
an=5-n
那么用1来代替n,2来代替,3来代替…..,就可以得到这个序列:
当n=1时, 我们得到 a1=5-1=4
当 n=2时, 我们得到 a2=5-2=3
当n=3时, 我们得到 a3=5-3=2
等等!

PART I开始前

  • 下载 Virtual ClassPad 文件 (vcp file)
  • 单击Lesson_18.vcp
  • 选择SaveSave As…选项
  • 打开下拉工具筐的” Save in”(靠近顶部)
  • 展开My Documents文件夹,并选中它
  • 选择CASIO文件夹下的ClassPad Manager的文件夹
  • 点击Save
  • 点击Open文件夹
  • 双击Lesson_18.vcp打开文件

2.打开Virtual ClassPad filevcp文件)的另一种方法

  • 打开“ClassPad Manager
  • 在ClassPad上右击(出现一个“context”菜单)
  • 选择File再选Open…
  • 通过浏览找到文件Lesson_18.vcp(它应该在 My Documents/CASIO/ClassPad Manager folder中)
  • 选择Lesson_18.vcp
  • 点击Open(Lesson_18.vcp现在是一个活动文件)

PART I
在这一部分,我们将会学习怎样使用序列应用程序去查看序列的表格形式和图形形式.

  • 打开 m,以及 H
  • 点击 Explicit 选项卡,然后点击下面的 anE
  • 输入 2n+1 ,然后按 EXE
  • 单击表格按钮 () [提示: 如果它没有显示, 点击 来找到它.]
输入一个序列

注意, 当 n=1, 2n+1=3
        当 n=2, 2n+1=5
        当 n=3, 2n+1=7
           …

 
  • 用序列表来工作

 

  • 单击,改变表格的大小
  • End 改为 10,然后单击 OK
  • 点击回到序列编辑窗口
  • 单击 并选择
  • 这个按钮增加了两相邻项的差在表格中.
  • 注意: 因为差值是相同的, 这个序列是一个等差序列.
  • 点击 并选
  • 这个按钮增加了两相邻值的商在表格中.
  • 注意: 如果商是相同的,那这个序列就是一个等比序列

  

 

再次点击 , 仅显示序列的数据

  • 点击 ,画出表中的数据
  • 点击表格窗口
  • 点击 连结点
  • 打开 Analysis ,然后选择 Trace
  • 使用箭头来进行点到点的移动.
  • 另一种方式来移动: 点击表格窗口

用序列的图象来工作
 

打开 菜单,选 Link

使用箭头键来移动 anE表格中的值,并观察图形窗口

 


 PART I的实践练习
在开始实践练习前,打开一个文档,输入以下信息并以文件名Lesson18保存在My Documents/ CASIO文件夹下面:
  • Date: (输入今天的日期)
  • To: (写下你老师的名字)
  • From:(写下你的名字)
  • Re: Lesson 18
  • 请打开序列应用程序,然后清空Explicit页
  • 生成序列an =2(3/4)^n的表格值
  • 修改表格的大小,使得它可以显示第1项到第20项.

4. 在序列和表格都显示的情况下 做1个抓屏,粘贴到你的Lesson18文档(在PART I的一个标题下).
5.使用点图形式画出表格中的数据.打开Zoom菜单,并选择Auto.
6. 在图形和表格窗口都显示的情况下, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.
7.在你的表格中加一个商的序列(这列的表头是Quot)
8.调整表格窗口的大小使它最大.注意Quot列是相等的数,意味着我们的序列是一个等比序列.同样注意到当n增大时, anE似乎接近一个常数. 你会在微积分中学到更多有关的内容.
9.在表格最大话的时候,做1个抓屏。请在前面1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.

PART II
在这一部分,我们将用使用递归形式表示的序列工作.如果一个序列的定义是用前面的项来定义,那么就是递归形式表示.

简而言之,对递推序列,我们至少需要这个序列的一个初值,这样才能求出这个序列的其他项.

  1. 输入一个递推序列

 

  1. 打开 m以及H
  2. 点击 Recursive 选项,再单击下面的 an+1
  3. 我们将输入n +5: 输入 2, 打开 n, an  菜单,然后选 an,输入5
  4. EXE
  5. 我们需要定义 a0
  6. a0=1 ,然后按 EXE
  7. 点击 并选表格按钮 ()
  8. 滚动表格窗口
  9. 练习画图和跟踪数据

 

 

输入另一个递推序列

 

  1. 单击&
  2. 点击下面的 bn+1
  3. 输入 bn +n,然后按 EXE
  4. b0=2 ,然后按 EXE
  5. 单击表格按钮 ()
  6. 画图,然后选 Zoom/Auto
  7. 点击回表格窗口
  8. 打开 菜单,并选 Link

 

 

 

      
  1. 使用箭头键在anbn 间的值移动,(意鼠标从一个图形跳到另一个图形上)

 

  1. 求递推序列的通项

序列应用程序有一个特殊的数学窗口,这个窗口看上去像Main应用窗口,但是菜单是不同的.这个菜单包含的是序列中常用的命令.
有时我们需要把一个递推序列写成一个通项的序列.为什么?当然,有通项的序列就不依赖前面的项.我们将使用rSolve( )命令.这个命令尽力去为递推序列找出一个通项.

 

  1. 点击&
  2. 点击 按钮
  3. 打开 Calc menu 然后选择 rSolve(
  4. 观察 n,ana0,a1 菜单 (仅仅是观察)
  5. 使用菜单项,然后拖放, 输入递推的形式 an+1 (如展示的那样)
  6. EXE

 

 



  

PART II 的实践练习

  1. 请打开序列应用程序,然后清空Recursive页.
  2. 产生序列an+1 =n-2an , a0=15的一个数据表格
  3. 在序列和表格都显示的情况下 做1个抓屏,粘贴到你的Lesson18文档(在PART II的一个标题下)
  4. 使用rSolve( )命令;求出递推序列的通项.
  5. 在rSolv结果显示出来的情况下, 做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.
  6. 复制右边的通项(选中它,然后选择Edit/Copy或Ctrl+c).
  7. 切换到序列编辑器的通项页,然后粘贴通项到下面的anE.记住按EXE!
  8. 在通项页和表格显示的状态下,做1个抓屏。请在前面1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.

 

PART III
有时需要对一个序列求和.序列中每一项之和被称为极数.级数在微积分中扮演了一个重要的角色;因此,我们现在来看一个专门用来序列求和的符号.

求和符号是大写的希腊字母,被作为一个表示序列之和的速记符号. ClassPad在2-D math中有这个符号!

  1. 使用 ClassPad’的求和符号

几个字的忠告:无论什么时候你在计算器上或软件上试一个能给出结果的功能,
首先试一个你知道答案的例子

  1. 让我们尝试对数字 1 到4求和.
  2. 我们知道 1+2+3+4=10
  3. 打开Main (J),然后清空窗口
  4. 打开 keyboard,然后找到求和符号l
  5. 我们想对 k求和,其中 k=1 到 4 (看看我的)
  6. 求出和!
  7. 你使用的字母应该和我们要求和的序列中的字母匹配
 

Oops!
我们发现
k+k+k+k=4k

 

对等差序列求和  

试着利用这个公式对数字1到100求和。它算出来了!

  1. 对数字1到100求和.
  2. 注意这是一个通项为 an=n 的等差序列(每一项都比后面的项少1)
  3. 这个等差序列的求和公式是 .
 

 

PART III的实践练习

  • 请打开Main应用程序,并清空窗口。
  • 使用求和符号,求出序列an=3n-5n=1…10.
  • 在下一行,使用等差序列的求和公式求和。【提示:使用a1=3x1-5,以及an=3x10-5.]
  • 在求和的结果显示的状态下,做1个抓屏,粘贴到你的Lesson18文档(在PART III的一个标题下)
  • 打开在Lesson 18文件夹下的名为L18_PartIII_a的电子备课文件。
  • 对Verify条框中的名为Exercise 1的序列求和。要求使用4行就得到最后的结果(可以查看eActivity中的例子来得到更多的细节)
  • 当Verify窗口打开的时候,做1个抓屏。请在第1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.
  • 保存你的电子备课为L18_PartIII_a_你姓名的大写字母
  • 打开Lesson 18文件夹中名为L18_PartIII_b的电子备课文件。
  • 阅读这个电子备课,完成名为Summation的条框中的求和。这个操作主要是要告诉你一些序列的和趋向于某一个数。在微积分中,你将会学到关于更多的有关收敛级数的内容。
  • 在Main窗口打开,以及序列的和以小数形式显示时,做1个抓屏。请在前面1个抓屏后加2个空格再粘贴这个抓屏.
  • 把你的电子备课保存为L18_PartIII_b_你名字首字的大写字母

在继续Part IV之前,请备份你在Lesson 18中所作的工作。按以下操作:

  • 打开 Exchange窗口. [提示: 右击 ClassPad 仿真器.]
  • 点击活动文件夹前面的 + 号 ,打开ClassPad Manager 文件夹.
  • 点击Lesson_18文件夹前面的 + 号,打开 eActivities 文件夹.
  • 接下来,点击名Lesson 18的文件夹,是否能看见你刚才完成的电子备课文件?
  • 按住 (左击) Lesson 18 文件夹,然后 拖动到 CP101_Backup vcp file.

PART IV
书面练习
请将下面的问题拷贝粘贴到Lesson 18文档(在标题“Part IV”下)并回答

  • 如果在一个序列中相邻两项的差是相等的,那么这个序列是什么序列?
  • 什么类型的序列一定要求要给出一个初值?
  • 我们怎样把一个表格的值链接到图形窗口?
  • 如果一个序列是n=12开始,n=21结束,那么这个序列一共有多少项?

反思练习
你刚完成了ClassPad 101的第18课。好极了,你已经完成了!请花几分钟将下面的3个问题拷贝粘帖到Lesson 18文档的后面并回答
1.你大概花了多长时间来完成这一课的?
2.你最喜欢的操作是哪个?
3.这些操作有觉得困难的部分吗?如果有,是哪一部分?你是怎样克服的?

评估18a序列(Sequence)入门
检查点:你的文档,标记为“Lesson18”,要包含以下内容:

      • PART I的3个抓屏
      • PART II的3个抓屏
      • PART III的3个抓屏
      • PART IV的4个书面练习题和答案、3个反思练习题和答案
  • 把你的Lesson 18文档提交给老师打等级分

评价 18b:   上传你的 Lesson_18.vcp file

  • 提交你的Lesson_18.vcp文件给老师打等级分。一旦你的文件被提交,你的ClassPad 101的“序列(Sequences)入门”课程就完成了
 
 
 
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